Учетная и процентная ставка: разные базы одного денежного потока

Слово «дисконт» иногда означает просто разницу между номиналом и ценой, а иногда входит в название конкретного способа расчета ставки. В банковском математическом дисконтировании ставка применяется к будущей сумме, а не к первоначально выданным деньгам. Поэтому ее нельзя напрямую сравнивать с процентом от вложенного капитала. TreasuryDirect публикует для американских казначейских векселей формулу цены через номинал, учетную ставку и срок с базой 360 дней.1 Здесь этот источник используется только как первичный пример различия баз, без переноса американской конвенции на российские инструменты.

Сначала обозначить четыре величины

Пусть F — известная будущая сумма, P — выданная сегодня сумма, D = F − P — денежный дисконт, t — доля года по явно выбранному календарю. Учетная ставка d в простой модели задает D = F × d × t, поэтому P = F × (1 − d × t). При обычных положительных суммах требуется d × t < 1. Иначе модель дает нулевую или отрицательную первоначальную сумму и теряет привычный смысл сравнения положительных вложений. Это ограничение формулы, не рекомендация выбирать допустимый процент.

Процентная ставка i той же простой операции определяется по выданной сумме: F = P × (1 + i × t). Значит, i = (F − P) / (P × t). При одинаковой базе времени связь равна i = d / (1 − d × t), а обратная — d = i / (1 + i × t). Разные ставки здесь описывают один поток. Если календарная база различается, сначала нужно согласовать t: одной замены знаменателя денежной суммы уже недостаточно.

Пример без реальной бумаги

Через условную четверть года должны вернуть 100 000 рублей. Учебная учетная ставка составляет 12% за год, то есть d = 0,12 и t = 0,25. Дисконт равен 3 000, первоначальная сумма — 97 000. Процент на фактически выданные деньги за период составляет 3 000 / 97 000. Простая годовая ставка той же операции равна примерно 12,3711%. Это не текущая доходность рынка, не предложение займа и не утверждение, что платеж обязательно исполнится. Расходов, налогов, промежуточных выплат и дефолта в модели нет.

Теперь оставим будущие 100 000 и тот же срок, но зададим именно процентную ставку 12% на выданную сумму. Сегодняшняя сумма будет 100 000 / 1,03 = 97 087,38 рубля, а не 97 000. Одинаковые напечатанные 12% привели к разным начальным суммам, поскольку применены к разным базам. Поэтому вопрос «какой процент выше» нужно заменить вопросом «от какой суммы он рассчитан и за какой срок». Нельзя исправить различие простой сменой названия колонки.

Не путать с общим дисконтированием

В приведенной стоимости по сложной ставке используется P = F / (1 + r)ⁿ. Это другой способ задания модели, не та же учетная формула с переставленными буквами. Слова «привести к сегодняшнему дню» описывают цель вычисления, но не единственную конвенцию котирования. Для конкретного инструмента нужно установить, что означает опубликованный показатель: учетная ставка, простой доход за период, эффективная годовая доходность или иной расчет. Как купон отличается от доходности, разобрано в отдельном материале.

Проверка реальной карточки

Выпишите цену, номинал, даты расчетов и возврата, правило календарных дней, расходы и формулу показателя. Не считайте любую покупку ниже номинала прибыльной: остаются способность должника заплатить и условия выхода. Не добавляйте денежный дисконт второй раз, если он уже входит в разницу конечной и начальной сумм. Не переносите базу 360 из американского примера автоматически на другой рынок. Если название показателя неизвестно, сначала установите определение, а затем выполняйте пересчет. Точность арифметики не компенсирует неверно выбранную базу ставки.

Контроль обратной подстановкой

Из найденной процентной ставки восстановите будущую сумму по фактически выданным деньгам. Из учетной — восстановите ту же цену через номинал. При одинаковом календаре оба результата должны согласоваться. Если нет, проверьте единицы ставки, знак дисконта и округление. Такой контроль делает сравнение воспроизводимым, но не является юридической проверкой векселя, оценкой надежности должника или расчетом применимого налога.

Для другого способа временной оценки перейдите к дисконтированным денежным потокам, сохраняя различие сложной ставки и простой учетной конвенции.