Корреляция и ковариация: почему результат зависит от масштаба и окна данных

Корреляция описывает линейное совместное движение двух рядов доходностей, а ковариация дополнительно сохраняет их масштаб. Эти величины связаны, но не взаимозаменяемы. Учебные материалы Уильяма Шарпа показывают, что дисперсия двухактивного портфеля включает веса, индивидуальные дисперсии и ковариацию.104 Для практического чтения нужно также знать период, частоту наблюдений и качество цен: без них коэффициент выглядит определённее, чем есть.

Начать с одинаковых наблюдений

Сопоставляйте доходности за одни и те же даты, в согласованной валюте и с одинаковым учётом выплат. Цена и доходность — разные ряды; корреляция растущих уровней цен способна описывать общий тренд, а не нужную краткосрочную зависимость. Пропуски и разные торговые часы могут сместить видимую связь даже между экономически связанными активами.

Определите частоту: дневные, месячные и годовые изменения дают разные наборы наблюдений. Длинное окно добавляет историю, но может смешивать разные режимы. Короткое быстрее замечает изменения, но чувствительнее к случайности. Нет универсальной длины, которая делает будущую корреляцию известной. Сохраняйте метод и проверяйте, как вывод меняется при разумном изменении окна.

Модель двух учебных частей

Пусть веса условного портфеля равны шестидесяти и сорока процентам. Волатильности за одинаковый период — пятнадцать и двадцать пять процентов, корреляция — 0,2. В десятичной записи ковариация равна 0,2 × 0,15 × 0,25, то есть 0,0075. Это не процентная доходность, а величина совместного разброса в соответствующем масштабе.

Дисперсия портфеля получается как 0,6² × 0,15² + 0,4² × 0,25² + 2 × 0,6 × 0,4 × 0,0075 = 0,0217. Квадратный корень даёт волатильность около 14,73%. Если при тех же весах и индивидуальных волатильностях корреляция равна единице, результат составляет девятнадцать процентов. Все параметры заданы, а не оценены по реальному рынку; доли не являются рекомендацией.

Почему кризис меняет смысл спокойного окна

Оценка по спокойному периоду может не отражать совместную реакцию на нехватку ликвидности, общий источник фондирования или изменение ожиданий. Низкая историческая связь не даёт договорной обязанности двигаться независимо. Концентрация может быть скрыта одинаковой зависимостью разных бумаг от одной группы или отрасли; FINRA рекомендует смотреть и на такие связи.103

Особенно осторожно сравнивайте активы с редкими переоценками. Устаревшая цена создаёт впечатление слабой волатильности и низкой корреляции, хотя фактическая продажа возможна с большой скидкой. Отсутствие ежедневных сделок — не отдельный источник защиты. Статистическая гладкость может говорить о способе измерения, а не о свойствах актива.

Что остаётся за пределами формулы

Формула дисперсии не описывает автоматически дефолт, блокировку доступа, нелинейные выплаты и постоянную потерю стоимости. Она не показывает максимальную просадку и не определяет вероятность убытка без дополнительных предположений о распределении. Снижение одного статистического показателя не означает снижения всех возможных рисков.

Рабочая проверка содержит исходные ряды, правила очистки, валюту, учёт выплат, окно и отдельные стрессовые сочетания. Если вывод о распределении риска исчезает при небольшом изменении периода, это следует показать, а не выбирать наиболее приятный коэффициент. Итог — оценка исторической линейной зависимости с понятными границами. Она помогает задавать вопросы о концентрации, но не гарантирует будущую независимость и не задаёт подходящий человеку портфель.

Условия расчёта важнее лишних знаков

Укажите, используются ли выборочная или иная оценка ковариации и как обрабатываются неполные наблюдения. При сравнении нескольких активов попарное удаление пропусков может означать, что каждая связь измерена на другом наборе дат. Тогда итоговая матрица требует дополнительной проверки совместимости; нельзя считать её автоматически согласованной только потому, что каждая ячейка находится между допустимыми границами корреляции.

Для учебного примера достаточно сохранить одинаковые наблюдения и прозрачную формулу. Для большого набора полезно проверить, как меняются выводы при исключении отдельных периодов и добавлении расходов. Такой анализ не угадывает следующий кризис, но показывает зависимость результата от способа измерения.

Наконец, корреляция не различает причинность. Два ряда могут реагировать на общий внешний фактор, а не друг на друга. Поэтому экономическое описание связей остаётся необходимым даже после статистического расчёта. Оно помогает построить стресс, который ещё не присутствовал в истории, и не принимать математически красивую матрицу за полную карту рисков.

Связанные основы: Диверсификация: искать независимые причины, а не считать названия; Риск портфеля: потери, сроки и совместное движение активов.

Ожидание и эффективная граница — следующий вопрос после дисперсии

Средняя ожидаемая доходность портфеля равна сумме весов, умноженных на ожидаемые доходности активов: μp = Σ wiμi. Это математическое ожидание за согласованный период, а не обещанный итог. В изложении Шарпа эффективный набор исключает сочетания, которым существует альтернатива с не меньшей ожидаемой доходностью и не большим риском при хотя бы одном строгом улучшении.1 Здесь риск внутри модели означает стандартное отклонение, а не всю совокупность последствий для человека.

Зададим два вымышленных актива А и Б, без долга и коротких позиций. Их ожидаемые годовые доходности — 6% и 10%, обе волатильности — 20%, корреляция нулевая. Обозначим вес Б как w, вес А как 1 − w. Тогда μp = 6% + 4% × w, а σp² = 0,04 × [(1 − w)² + w²]. Параметры заданы для урока, не получены из исторической выборки.

Вес Б	Ожидаемая доходность	Стандартное отклонение
0%	6%	20,00%
25%	7%	15,81%
50%	8%	14,14%
75%	9%	15,81%
100%	10%	20,00%

Смесь с весом Б 25% уступает смеси с весом Б 75%: стандартное отклонение одинаково, ожидание ниже. Минимальная дисперсия достигается при 50%. В этом непрерывном двухактивном множестве эффективная ветвь идёт от веса Б 50% до 100%; меньшие веса доминируются симметричными большими. Чтобы получить ожидаемые 9%, нужно w = (9 − 6)/4 = 0,75, но это лишь выполнение математического ограничения, не выбор подходящей доходности. На графике по горизонтали откладывают σp, по вертикали μp; эффективная граница — верхняя левая часть допустимого множества, а не весь изгиб.

Маленькая ошибка ожидания меняет оптимальный вес

Отдельный пример выявляет чувствительность. Пусть волатильности снова 20%, но корреляция 0,95: активы очень похожи. Максимизируем условный критерий J = μp − (λ/2)σp² при λ = 4 и весах от нуля до единицы. Это выбранная учебная функция компромисса, а не измеренная полезность читателя. При равных ожиданиях 8% оптимум равен 50% Б.

Для этой симметричной задачи внутреннее решение w = 0,5 + (μБ − μА) / [2λσ²(1 − ρ)], затем его ограничивают отрезком [0; 1]. Знаменатель равен 0,016. Если ожидание Б поднять всего с 8% до 8,4%, оставив прочее неизменным, модель выдаст 75% Б. При 8,8% — 100%. Изменение оценки на 0,4 процентного пункта изменило вес на 25 процентных пунктов: это не одно и то же изменение.

Причина не в знании будущего победителя. При близких активах штраф за перенос веса мал, поэтому шумное различие ожиданий становится решающим. Исторически рассчитанное ожидание не становится точным только после запуска оптимизатора. Для другой ковариации или критерия результаты будут иными; минимальная дисперсия сама по себе вообще не использует μ.

Сравните веса при нескольких обоснованных оценках, введите явно объявленные ограничения концентрации и оборота, проверьте расходы и отдельные сценарии доступа. Эти ограничения могут уменьшать чувствительность, но не доказывают правильность входных данных. Эффективность относится к заданному множеству, периоду и критерию. Из модели не следуют ни безопасность, ни стабильность оптимальных долей, ни преимущество расчётной стратегии после расходов.