Ожидаемая ценность: вероятность и размер результата

Решение оценивают до того, как известен исход

Представьте два учебных проекта с одинаковым сроком. У первого часто возникает небольшая прибыль, но редко — очень большой убыток. Второй чаще заканчивается без результата, зато в удачном случае приносит больше. Доля успешных исходов сама по себе не позволяет выбрать между ними. Нужны размеры результатов, вероятности и ограничения того, кто принимает решение. Ожидаемая денежная ценность складывает произведения вероятности каждого исхода на его денежный результат.[1]

У такого расчёта есть обязательный периметр. Надо решить, считаются ли прибыль и убыток относительно первоначальных затрат, включены ли расходы, когда доступны деньги и исчерпывают ли перечисленные события все возможности. Если в таблице забыта вероятность задержки или дополнительного взноса, аккуратная формула не спасает неполную постановку задачи. Лучше прямо оставить диапазон неизвестных величин, чем присвоить им удобный ноль.

Пример с неприятной асимметрией

Вариант А даёт плюс 1 000 условных рублей с вероятностью 90% и минус 12 000 с вероятностью 10%. Его математическое ожидание равно минус 300: девятьсот ожидаемой положительной составляющей не перекрывают тысячу двести отрицательной. Вариант Б даёт плюс 3 000 с вероятностью 40% и минус 1 000 с вероятностью 60%. Здесь ожидание равно плюс 600. Все вероятности придуманы для обучения, а не оценены по рыночным данным.

Выбор только по частоте побед предпочёл бы А и пропустил бы размер редкого убытка. Но выбор только по ожиданию тоже был бы неполным. Если потеря тысячи нарушает обязательный платёж семьи, даже положительное ожидание Б не делает его приемлемым. Полезно сначала отделить средства на обязательства, как объясняется в материале о финансовой подушке, и только затем обсуждать риск остатка.

Чувствительность вместо красивой одной цифры

Пусть вероятность положительного исхода Б не известна точно. Без дополнительных расходов безубыточная граница равна 25%: четыре тысячи, умноженные на вероятность успеха, должны покрыть тысячу возможного убытка. При вероятности 20% ожидание уже минус 200. Поэтому спор об одной цифре «плюс 600» следует заменить вопросом: почему вероятность выше четверти и насколько надёжен источник этой оценки?

Предложите три сценария: осторожный, основной и благоприятный. Во всех трёх сохраняйте одинаковые определения результата и одинаковый горизонт. Не меняйте одновременно вероятность, размер выигрыша и состав расходов без пояснения: иначе нельзя понять, какое допущение определило вывод. Для проверки оценок полезен журнал вероятностных прогнозов, а не воспоминание о собственных удачных предсказаниях.

Деньги и полезность не одно и то же

В университетском изложении отдельно рассматривают ожидаемую полезность: усредняется не денежная сумма, а ценность исходов для принимающего решение. Из-за отношения к риску полезность ожидаемых денег и ожидаемая полезность могут различаться. Это объясняет, почему отказ от части денежного ожидания ради предсказуемости не обязательно является арифметической ошибкой.[1]

Не следует превращать эту идею в псевдоточный персональный коэффициент. В учебном разборе достаточно обозначить ограничение: максимальный переносимый убыток, резерв ликвидности, срок и недопустимость задолженности. Два человека могут корректно посчитать одну таблицу и сделать разные выводы из-за разных обязательств. Расчёт показывает структуру выбора, но не подменяет её универсальным советом.

Как отличить удачу от хорошего процесса

Сохраните таблицу до события. После результата проверьте не только выигрыш, но и то, учтён ли реализовавшийся сценарий, были ли доступны исходные сведения и не менялись ли вероятности задним числом. Один проигрыш не опровергает решение с положительным ожиданием, а одна победа не оправдывает отрицательное. При зависимых повторениях и ограниченном капитале даже серия хороших по отдельности возможностей может оказаться непереносимой. Поэтому вместе с ожиданием всегда нужна оценка потерь и возможности продолжать выполнять обязательства.

Стоимость дополнительной информации

Перед выбором можно задать отдельный вопрос: имеет ли смысл заплатить за более точную оценку вероятности? Для учебного сравнения сначала посчитайте лучший ожидаемый результат без новой информации, затем — с конкретно описанным качеством её сигнала и всеми возможными ошибками. Разница задаёт верхнюю границу экономического интереса к такому уточнению в рамках модели. Она не оправдывает любую цену исследования и не предполагает, что платный прогноз обязательно информативен.

Не включайте в таблицу идеальное знание будущего как реально доступную услугу. Оно может служить только теоретической границей сравнения. Если новая информация не меняет допустимого действия из-за ограничений капитала или срока, её денежная полезность для этой задачи может оказаться небольшой. Сам термин математическое ожидание помогает держать расчёт отдельно от впечатления о привлекательности возможности.

Источники и границы проверки

[1] Lecture 20: Uncertainty. Ожидаемая денежная ценность и ожидаемая полезность.

Дерево решений: вероятность ветви не вероятность листа

Таблица одного решения не описывает последовательный выбор. В дереве различают узел случая, где усредняют исходы, и узел решения, где выбирают доступное действие. Вычисление идёт от листьев к корню. Вероятность полного пути — произведение условных вероятностей вдоль него; складывать следует несовместимые полные пути. Ожидаемая полезность как критерий выбора рассматривается в учебном материале MIT; нижеследующее дерево и его числа построены самостоятельно.[REV]

Продолжим искусственный проект Б: успех приносит 3000, неуспех −1000, исходная вероятность успеха 0,4. Можно отказаться и получить 0, поэтому без новой информации лучший ожидаемый результат равен 600. Теперь исследовательская проверка даёт положительный сигнал с вероятностью 0,75 при успехе и с вероятностью 0,25 при неуспехе. Полные вероятности четырёх листьев равны: успех и плюс — 0,30; неуспех и плюс — 0,15; успех и минус — 0,10; неуспех и минус — 0,45. Их сумма равна единице.

Вероятность положительного сигнала равна 0,45; условная вероятность успеха после него — 0,30/0,45=2/3. В положительной ветви ожидание проекта равно 1666,67. После отрицательного сигнала вероятность успеха — 0,10/0,55=2/11, ожидание −272,73. В этом узле выбирают отказ с результатом 0, а не всё равно запускают проект. Отсюда ценность доступного выбора до оплаты информации: 0,45×1666,67+0,55×0=750, с округлением только итогов. Если проверка стоит 100 при любом сигнале, корневой результат равен 650. Информация добавила 150 до своей цены и 50 после неё относительно исходных 600.

За идеальное знание будущего модель дала бы 0,4×3000+0,6×0=1200; ценность совершенной информации — 600. Она является верхней границей для уточнения в этой модели, не доходностью реально доступного прогноза. Если отказаться после сигнала нельзя, исследование не создаёт здесь ценности: один и тот же проект выполняется при любом ответе, а плата только уменьшает ожидание. Если обязательства запрещают даже возможную потерю 1000, сначала меняется множество допустимых действий, а не вероятность ради удобного выбора.

Когда дерево нельзя честно заполнить вероятностями

Плохо структурированная задача отличается от заданной игры: список исходов может быть неполон, сведения противоречивы, цели разных участников расходятся, а срок решения ограничен. Распознавание знакомой ситуации и мысленный прогон одного правдоподобного сценария помогают выбрать, что исследовать первым, но не заменяют валидацию вероятностей. Не нужно назначать точное 0,7 только потому, что аналитик быстро узнал знакомый паттерн.

Авторский ограниченный протокол такой: записать цель и крайний срок; отметить неизвестные, способные изменить допустимость действия; предложить два существенно разных сценария; мысленно пройти последовательность денежных требований; назвать наблюдение, при котором знакомая аналогия перестаёт подходить. Затем либо собрать различающую информацию, либо выбрать обратимое действие с заранее ограниченной потерей, либо отказаться. При отсутствии обоснованных вероятностей показывают диапазон результатов, не выдают его за полное дерево случая. Под давлением времени полезность этого протокола проверяется сохранёнными до исхода записями, а не впечатлением от уверенности эксперта. Рассказ о физиологической реакции в карточном опыте не подтверждает способность интуитивно распознавать выгодную акцию.

Петербургская игра: бесконечная сумма и конечная полезность

Зададим математическую игру, а не совет играть: честная монета бросается до первого орла; если он появился на броске N, выплата X=2ᴺ. Вероятность N=n равна 2⁻ⁿ. Каждое слагаемое денежного ожидания 2⁻ⁿ×2ⁿ равно единице. Поэтому сумма по всем n расходится: E[X]=∞. Это свойство бесконечной модели; фактическая касса, время и кредит не бесконечны.

Если максимум выплаты равен 2¹⁰, а при N≥10 платят именно этот максимум, первые девять слагаемых дают 9, а хвост даёт 2¹⁰×P(N≥10)=2. Ожидание ограниченной выплаты равно 11. Не следует путать этот потолок с другой игрой, где после десятого броска ничего не платят: там иной хвост и иная сумма. Смена ограничения меняет сам объект расчёта.

При логарифмической полезности именно выплаты, u(X)=ln X, имеем E[u(X)]=ln2×Σn/2ⁿ=2ln2≈1,3863 — конечную величину. Из этого не следует универсальная «разумная цена билета»: полезность полного богатства при входной плате c равна E[ln(W−c+X)], а не E[ln X]−c. При W>0 и 0≤c≤W выражение определено; его верхняя оценка ln(W+1)+Nln2 имеет конечное ожидание. Заимствование, невозможность платить обязательства и нелогарифмические предпочтения требуют другой постановки. Логарифм — пример убывающей предельной полезности, не диагноз отношения конкретного человека к риску.

Нормальное распределение задаёт определённую форму вероятностей и конечные моменты; оно не является необходимым условием существования ожидания вообще. Тяжёлый хвост тоже может иметь конечное среднее. Важны величина выплаты вместе с вероятностью и скорость убывания хвоста, а не ярлык «нормально/ненормально». Независимость повторений — ещё отдельное допущение. Нельзя одновременно объявить все финансовые доходности нормальными либо все их средние бессмысленными.

Аналогия с акциями роста ограничена: быстро растущая будущая выплата может доминировать в оценке, если её вероятность и дисконтирование слишком слабо сдерживают рост. Тогда нужно ограничить срок, ресурс и конкурентную среду, а не объявлять сегодняшнюю цену оправданной бесконечным ожиданием. Реальная компания не монета с известной вероятностью. Можно обучаться выбору, ожиданию и цене информации без переноса чужих карточных историй или ставок и без обещания повторяемого выигрыша.

Статистический опыт: серия побед против навыка

Сначала определим победу как положительное превышение заранее выбранного сопоставимого ориентира после расходов за один неперекрывающийся период. В искусственной нулевой модели вероятность победы равна 1/2, периоды независимы, правило и исполнитель выбраны до наблюдений. Тогда число побед K в десяти периодах имеет биномиальное распределение. Вероятность не меньше восьми побед равна (45+10+1)/1024=0,0546875, примерно 5,47%. Это не вероятность того, что у исполнителя «нет навыка»: рассчитана вероятность данных такого или более крайнего вида при заданной нулевой модели.

Даже десять побед из десяти дают 1/1024, но если заранее просмотрены сто независимых исполнителей, вероятность найти хотя бы одного такого победителя равна 1−(1023/1024)¹⁰⁰≈9,31%. Для реальных фондов общие факторы и пересекающиеся позиции нарушают независимость. Поэтому механически применять эту цифру к рынку нельзя. Сходство результатов разных людей может отражать один риск, а не сто независимых опытов.

Проверку навыка продолжает заранее отложенная серия при неизменном определении успеха, с оценкой величины превышения, диапазона неопределённости, оборота и тяжёлых потерь. Если выигрыш получается только на растущем рынке, проверьте объяснение общей экспозицией; если исчезает после расходов, различайте прогностическую информацию и доступный результат. Порог 5% не является границей между «талант» и «удача». Неспособность отвергнуть нулевую модель при десяти периодах может означать мало информации, а не отсутствие навыка. Отчёт раскрывает весь поиск и зависимость наблюдений; биография знаменитого победителя этого опыта не заменяет.

Победившая группа: когда классификация тоже выбрана после результата

Биномиальный опыт выше предполагает заранее выбранного исполнителя. Если после просмотра таблицы исследователь объединяет победителей общим названием школы, отрасли или стиля, он выбирает ещё и группу. Нельзя оценивать её убедительность так, как будто эта группа была единственным заранее заявленным объектом. Принадлежность к одному стилю может объяснять общий риск, использование одних данных и одинаковые позиции, а не независимое подтверждение навыка каждым участником.

Зададим самостоятельный протокол: до периода проверки сохранить всех 100 допустимых исполнителей, в том числе будущих закрывшихся; указать дату назначения стиля, правила перехода между группами, сопоставимый ориентир и расходы. Группы сформировать по доступным тогда признакам, не по итоговой доходности. Сначала посчитать разницу результата каждой группы с контролем, затем проверить объяснение общей экспозицией. Если десять участников держали практически одинаковый портфель, их общий удачный год не становится десятью независимыми опытами. Перестановка названий не создаёт новой информации.

Контрфактическая неопределённость состоит в том, что результат той же группы при другом общем шоке не наблюдался. Её можно исследовать дополнительными периодами и явно обоснованной моделью зависимости, но нельзя убрать выбором одной знаменитой биографии. Закрытые исполнители, неудачные группы и все пробовавшиеся классификации остаются в отчёте. После замораживания групп новый период способен дать дополнительное свидетельство устойчивости; он всё равно не доказывает врождённый талант и не гарантирует будущий чистый результат. Проверяется ограниченная гипотеза о конкретном процессе, а не легенда о победителе.

[REV] MIT OpenCourseWare, «Lecture 20: Uncertainty», источник rm-expected-utility. Поддерживает различение денежного ожидания и полезности. Дерево, вывод бесконечной игры и биномиальные опыты в дополнении — самостоятельные математические примеры с явными предпосылками, не эмпирические утверждения.