Рента и аннуитет: будущая стоимость, сегодняшняя оценка и момент взноса

Регулярное пополнение часто описывают словами «откладываю каждый месяц». Для расчета этого мало: нужно знать, когда именно поступают деньги и сколько начислений они успевают пройти. Одинаковое число взносов не означает одинаковый итог. Поля калькулятора Investor.gov различают ежемесячное внесение и частоту начисления процентов.1 Здесь мы специально упрощаем календарь, чтобы вывести разницу между двумя временными схемами. Это не модель любого российского накопительного счета и не обещание равных банковских месяцев.

Равные платежи в конце периода

Пусть начального капитала нет. В конце каждого из n одинаковых периодов вносится C, а ставка периода равна i. Первый взнос растет n − 1 период, следующий — n − 2, последний не растет совсем, поскольку оценка сделана сразу после его поступления. Поэтому итог F равен C × [1 + (1 + i) + … + (1 + i)ⁿ⁻¹]. Это конечная геометрическая сумма. При i, отличной от нуля, F = C × ((1 + i)ⁿ − 1) / i. При нулевой ставке нужно использовать F = C × n, а не делить на ноль.

Перенос каждого взноса на начало

Если те же n взносов приходят в начале каждого периода, каждый из них участвует еще в одном начислении. Тогда будущая сумма равна предыдущей, умноженной на (1 + i). Важно: переносится вся последовательность, а не появляется дополнительный взнос. В обоих вариантах внесено одинаковое количество денег. Для постоянной положительной ставки более ранние взносы в этой модели дают больший итог, но этот математический факт не означает рекомендацию переводить средства до оплаты необходимых счетов.

Числовой пример

Все условия вымышлены. Взнос составляет 10 000 рублей, число периодов — 24, месячная ставка — 0,5%. Нет комиссий, удержаний и изменения ставки. При внесении в конце каждого месяца накопится 254 319,55 рубля. При внесении в начале — 255 591,15 рубля. Собственные взносы в обоих случаях равны 240 000. Разница итогов составляет 1 271,60 рубля, а не еще один полный взнос. Значения округлены только для показа; сумма рассчитана без ежемесячного округления внутреннего остатка.

Проверить результат можно без формулы геометрической прогрессии: открыть таблицу и выполнить 24 строки. Для конца периода сначала начислить проценты, затем добавить взнос. Для начала — сначала внести деньги, затем начислить проценты. Табличный способ полезен еще и тем, что легко обнаруживает лишний платеж. Частая ошибка — посчитать взнос в момент начала и затем еще 24 ежемесячных взноса, получив другую задачу с большим количеством собственных денег.

Когда формула перестает быть удобной

При пропусках взносов, меняющейся сумме или разной продолжительности периодов лучше вернуться к отдельным потокам. Равные учебные месяцы не определяют дату начала процентов по договору.

Сегодняшняя стоимость той же серии

Для предыдущих 24 платежей по 10 000 при i = 0,005 сегодняшняя оценка равна C × (1 − (1 + i)^(−n)) / i, или примерно 225 628,66 рубля. Это сумма в момент перед первым периодом, эквивалентная платежам в конце периодов при той же ставке. Для начала периодов она умножается на 1 + i и составляет примерно 226 756,81. При нулевой ставке обе оценки равны сумме платежей. Здесь рента обозначает денежную последовательность, не договор пожизненного содержания.

Частота платежей и частота процентов

Если номинальная годовая ставка j капитализируется m раз, а платежи приходят p раз за год, при согласованной модели равных отрезков ставку платежного периода получают как i = (1 + j/m)^(m/p) − 1. Простое деление j на p может описывать другую модель. Реальные несовпадающие календарные даты требуют расчета отдельных потоков. Само слово «ежемесячно» не означает, что число платежей автоматически совпадает с числом капитализаций. Сначала согласуйте периоды, затем используйте геометрическую сумму.

Бессрочный предел — отдельное допущение

Для бесконечной серии платежей в конце периодов при постоянной положительной ставке i сегодняшняя оценка равна C/i. В условном примере 10 000 за период при i = 0,005 дают 2 000 000. Это предел геометрической суммы, не обещание пожизненной выплаты и не безопасный размер пенсионного капитала. При i ≤ 0 положительная бесконечная серия не имеет такой конечной оценки; неизвестный срок, инфляция и риск не устранены. Стоимость серии нельзя приравнять к доказанной способности реального контрагента исполнять ее бесконечно.

Для реального договора нужна дата изменения процентной базы. Задержка перевода, минимальный остаток, лимит пополнений и разные ставки способны изменить расчет. Номинальные годовые проценты также нельзя всегда просто разделить на число месяцев: сначала нужно понять, какой именно показатель дан. Различия номинальной и эффективной ставки рассмотрены в отдельном материале.

Как проверить собственный план

Запишите количество платежей, даты первого и последнего, дату итоговой оценки и порядок начисления. Сверьте сумму собственных взносов независимо от дохода. Прибавляя первоначальный капитал, рассчитывайте его рост отдельным слагаемым, поскольку он находился в накоплении дольше регулярных взносов. Сопоставляйте схемы только при одинаковом числе переводов и одинаковой оценочной дате. Наконец, проверьте вариант без процентов: если формула или таблица не дают сумму всех взносов, ошибка находится в структуре платежей. Аннуитет здесь означает последовательность равных потоков, а не специальный банковский продукт или обязательство получать постоянный доход.

Что делать с автоматическим переводом

Дата настройки автоматического перевода не обязательно совпадает с датой фактического изменения базы. В личной проверке полезно разделить день поступления дохода, день отправки перевода и день его учета в накоплении. Если хотя бы одна дата плавает, формула начала периода остается лишь приближением. В таблице можно сохранить плановые даты и рядом записывать фактические. Тогда отклонение от аннуитетной суммы объясняется конкретными событиями, а не общей фразой о неправильном сложном проценте. Необходимо также проверить, не создает ли ранний перевод недостатка на обязательный счет.

Для реальных дат вместо одинаковых учебных месяцев понадобится календарь капитализации, который различает начисление, выплату и момент изменения базы.