Степенные распределения: размер компании, концентрация и пределы экстраполяции

Одна формула, несколько разных объектов

Степенная зависимость означает, что изменение масштаба связано с постоянной степенью некоторой величины в заданной модели. В финансовом анализе можно обсуждать размер компаний, распределение богатства, объёмы или хвост доходности. Эти объекты нельзя смешивать. Связь размера и ранга, вероятность превышения порога и плотность распределения имеют разные определения и параметры. Даже похожая прямая на графике ещё не сообщает, какую именно зависимость оценивает автор.

Обзор Габэ рассматривает эмпирические степенные закономерности в экономике и финансах и разные механизмы их возникновения, включая случайный рост и эффекты суперзвёзд. Он также отмечает открытые вопросы объяснения. Это полезный источник исследовательских гипотез, но не доказательство, что любой набор крупнейших компаний или каждый ценовой ряд подчиняется одному неизменному закону.[1]

Авторский хвост с явным порогом

Зададим учебную модель: для размеров не меньше десяти вероятность превышения x равна квадрату отношения десяти к x. Тогда вероятность превысить двадцать равна 25%, сорок — 6,25%, восемьдесят — 1,5625%. Удвоение порога каждый раз уменьшает вероятность в четыре раза. Это следует из специально выбранной степени два и не является оценкой реальных компаний или рынков.

Формула применена только выше нижней границы десять. Её нельзя автоматически продолжить на все положительные размеры. Равным образом результат для вероятности превышения не следует подписывать как плотность в точке. Если график содержит число объектов в интервалах разной ширины, нужно раскрыть нормировку: иначе видимая форма может отражать способ группировки, а не исходное распределение.

Что означает ранговая картинка

Отсортировав компании по размеру, можно отложить размер против места в списке. Если первые места значительно превосходят остальные, возникает концентрация. Но рейтинг показывает выборку на определённую дату. Он не доказывает, что нынешний лидер останется лидером или что покупка крупнейшего объекта даст более высокую доходность. Размер бизнеса, цена его бумаги и инвестиционный результат — разные переменные.

Простейший вымышленный набор размеров равен пятидесяти, двадцати пяти, пятнадцати и десяти. Сумма — сто, доля крупнейшего — половина. Индекс концентрации, рассчитанный как сумма квадратов долей, равен 0,345. Этот расчёт описывает распределение заданного набора, но не устанавливает степенной закон: четырёх наблюдений для такого заключения явно недостаточно, а числовой индекс концентрации не выбирает форму распределения.

Почему прямая на логарифмической шкале не завершает проверку

Логарифмическое изображение удобно для больших диапазонов и отношений. Оно может сделать некоторые различия менее заметными, особенно при малом числе крупных наблюдений. Сначала проверьте исходные данные, границу выборки, пропуски и диапазон, на котором предлагается модель. Затем сопоставьте альтернативы, например другое тяжёлохвостое распределение или смесь нескольких групп. Выбор формы не должен зависеть только от визуального впечатления.

При оценке покажите неопределённость параметра, чувствительность к нижнему порогу и состав объектов, оставшихся за порогом. Если вывод меняется после удаления одного крупнейшего наблюдения, это важный результат, а не повод молча удалить его. Крупные объекты как раз могут определять хвост. Слишком узкий участок, выбранный после просмотра графика, способен создавать иллюзию устойчивого масштабирования.

Как возникает неверная экстраполяция

Ошибка — перенести связь между размерами разных компаний на рост одной компании во времени. Даже если крупные и мелкие объекты образуют определённое поперечное распределение, это не задаёт траекторию конкретного участника. Аналогично отраслевое лидерство не устанавливает ожидаемую доходность акции: цена может уже учитывать оптимистичные ожидания, а будущая конкуренция изменить результаты.

Вторая ошибка — объявить степенной хвост разрешением игнорировать измерение риска. Наоборот, крупные редкие наблюдения делают проверку масштаба и сценариев особенно важной. Связь с тяжёлыми хвостами и стресс-тестом касается распределения возможных исходов, но не даёт точного прогноза даты экстремального события. Для портфеля полезно отдельно проверить диверсификацию, а не только количество названий.

Проверяемый вывод

Назовите переменную, поперечный или временной характер данных, нижний порог, метод оценки и альтернативные модели. Отделите описанную концентрацию от предполагаемого механизма и от инвестиционного решения. Корректная формулировка может быть узкой: «На таком диапазоне такая модель приблизительно описывает эти наблюдения». Она содержательнее громкого «закон объясняет рынок», потому что позволяет проверить и границы, и возможное опровержение.

Не смешивайте частоту и размер

Уточните, показывает ли график количество объектов определённого размера или долю совокупного капитала, приходящуюся на них. Эти распределения отвечают на разные вопросы и используют разные веса. Несколько крупнейших объектов могут занимать малую долю по численности и большую по стоимости. Поэтому степенное распределение требует определения единицы наблюдения ещё до выбора логарифмической шкалы.

Источники и границы проверки

[1] Power Laws in Economics and Finance. Обзор эмпирических степенных распределений и возможных механизмов.

Ципф: явная связь размера с рангом

В ранговой модели размер объекта на месте r равен S(r)=C/rᵝ. Частный случай β=1 обычно называют законом Ципфа; равенство является модельным приближением на указанном диапазоне, не тождеством для каждого реального рейтинга. В обзоре Габэ различаются степенные закономерности и механизмы их возникновения; название закона не устанавливает механизм роста отдельной компании.[RPL1]

Самостоятельный пример: C=120, β=1, четыре места дают 120, 60, 40, 30. Их сумма 250, доля первого 48%. Второе место вдвое меньше первого, четвёртое вдвое меньше второго. На логарифмических координатах log S=log C−β log r, то есть наклон равен −1. Добавив пятое место 24, получим другой знаменатель концентрации; закон для размеров не фиксирует долю лидера без числа объектов и границ рейтинга.

Связь ранга с хвостом тоже требует аккуратности. Если для большого числа объектов доля с размером не меньше x приблизительно (xₘᵢₙ/x)ᵅ, то место r примерно пропорционально x⁻ᵅ. Решая относительно x, получаем размер, пропорциональный r⁻¹⁄ᵅ; β≈1/α. Для плотности непрерывного распределения степень уже α+1. Поэтому показатель 1 на ранговом графике нельзя подставить как показатель плотности. Ранги зависят от выборки, а вблизи верхнего места приближение особенно грубо. Оценка параметра и проверка альтернатив остаются нужны.

Аллометрия организма и пирамида ресурсов — разные модели

Работа Уэста, Брауна и Энквиста выводит биологическое масштабирование из модели распределительных сетей с определёнными ограничениями: пространственное заполнение, условия на конечные сосуды и издержки транспорта. Это отдельная конструкция, не следствие сортировки объектов по рангу.[RPL2] Её не следует превращать в неизменный показатель для всех организмов и тем более для компаний.

Покажем ограниченный расчёт, не выдавая его за доказательство биологического закона. Предположим расход ресурса одним организмом B(M)=aM³⁄⁴, где M — масса, a задано. Увеличение массы в 16 раз увеличит расход в 8 раз. Расход на единицу массы B/M=aM⁻¹⁄⁴ уменьшится вдвое. При фиксированном доступном потоке ресурса E максимальное поддерживаемое число одинаковых организмов N=E/B(M) сократится в восемь раз. Но равенство требует полного использования одного ресурса и одинаковой среды; в природе доступный поток, температура, возраст и конкуренция не обязаны совпадать.

Трофическая пирамида использует другую связь. Если из 10 000 условных единиц энергии к следующему уровню в нашей модели переходит 10%, уровни получают 10 000, 1000, 100. При потребности одного организма соответственно 1, 10, 100 единиц расчётная численность равна 10 000, 100, 1. Процент и потребности здесь придуманы, а не измерены у слонов, муравьёв или фирм. Уменьшение доступного ресурса и рост потребности объясняют направление эффекта только в этой конструкции. Они не выводят конкретный показатель рангового распределения видов.

Экономическая ниша: проверяемая граница переноса

Ниша бизнеса — сочетание потребности покупателя, технологии, канала доступа и ресурсов, при котором обслуживание спроса окупает затраты. Это полезнее образа «крупный хищник ест мелких»: клиент может оплачивать несколько разных услуг, информация копируется, а технология меняет предельные издержки. Нельзя переносить биологическую степень 3/4 на выручку без отдельного измерения.

В авторской модели узкой услуги цена p=10, переменная затрата v=6, постоянные расходы F=120. При объёме q прибыль равна (p−v)q−F, граница безубыточности q=30. Если весь доступный спрос 40, один поставщик получает прибыль 40. Если два одинаковых поставщика делят его поровну, каждый получает −40. Это объясняет возможный предел числа окупающихся участников при данных затратах, но не устанавливает монополию: могут измениться цены, технология, дифференциация или сам спрос.

Когда новая технология снижает F либо расширяет доступный спрос, меняется ниша и устойчивый масштаб. Для проверки собирают реальные данные по единице услуги, загрузке, удержанию клиентов и затратам, затем сравнивают альтернативные модели. Размер в рейтинге не отвечает на эти вопросы. Экономическая ниша, аллометрия и Ципф могут подсказывать разные исследования; ни одно из трёх названий не доказывает справедливость цены акции или её будущую доходность.

[RPL1] Xavier Gabaix, «Power Laws in Economics and Finance», источник rm-power-laws. Ранговые и хвостовые закономерности; расчёт четырёх рангов авторский.

[RPL2] Geoffrey B. West, James H. Brown, Brian J. Enquist, «A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology», Science, 1997; копия в Complexity Explorer, источник cr-allometry-sfi. Биологическая модель сетей; перенос на компании в статье не предполагается.