Дюрация и выпуклость: насколько точна линейная оценка облигации

Дюрация описывает чувствительность цены к изменению доходности в определенной модели. Ее нельзя просто заменить числом лет до погашения. FINRA специально разграничивает срок погашения и меру процентной чувствительности, а также предупреждает: низкая дюрация не устраняет остальные риски.16 Здесь мы строим собственный численный пример фиксированного потока, чтобы показать границу линейной оценки и смысл выпуклости. Материал не рассчитывает показатель реального выпуска, не прогнозирует ставки и не предлагает менять портфель при определенном значении дюрации.

Задаем модель до показателя

Учебная облигация платит через год 80, через два года 80, через три года 1 080 денежных единиц. Используем одну годовую доходность 8% и ежегодное дисконтирование. Сумма приведенных платежей равна 1 000. Предполагаются известные сроки, отсутствие дефолта, амортизации, индексации и встроенного права изменить поток. SEC отмечает, что договоры облигаций могут иметь другие свойства,14 поэтому одна такая модель не универсальна. В частности, ее нельзя без изменений применять к неизвестным будущим купонам или инструменту с возможным досрочным прекращением.

В этой модели модифицированная дюрация, рассчитанная через производную цены по доходности, составляет примерно 2,5771. Для небольшого изменения доходности используется приближение: относительное изменение цены равно минус дюрация, умноженная на изменение ставки в долях единицы. При росте с 8% до 9% изменение ставки составляет 0,01, а не число 1. Линейная оценка дает цену примерно 974,23. Ошибка единиц в этом месте увеличила бы рассчитанное влияние в сто раз и полностью исказила вывод.

Почему возникает вторая поправка

Прямой пересчет тех же трех платежей по 9% дает примерно 974,69. Разница с линейной оценкой связана с тем, что зависимость цены от ставки не является прямой линией. Выпуклость описывает соответствующую кривизну. В выбранной модели нормированная вторая производная равна примерно 9,3002. Добавление члена «половина выпуклости × квадрат изменения ставки» дает около 974,6940. Это математическая поправка к собственной модели, а не дополнительная независимая выплата владельцу бумаги.

Если ставка снижается до 7%, точная модельная цена составляет примерно 1 026,24. Величина прироста не обязана в точности совпадать с величиной падения при симметричном повышении ставки. Так видно, зачем вообще нужна нелинейность. Но даже второй порядок остается приближением, а не точным расчетом при любом движении. При большом изменении или изменении самих платежей нужно заново оценивать модель. Нельзя бесконечно продолжать касательную и считать полученную линию законом будущих рыночных котировок.

Не существует одной чувствительности ко всему

Описанная дюрация относится к параллельному изменению одной выбранной доходности. Реальная кривая может менять наклон и форму; кредитный риск, ликвидность и встроенные права тоже могут изменяться. Поэтому показатель не объясняет автоматически всю наблюдаемую доходность бумаги. Нужно знать, модифицированная это дюрация, другая разновидность или величина с иной методикой. Сходное название в двух сервисах не доказывает одинаковых исходных предположений, единиц и даты расчета.

Для проверки чужой оценки спросите о потоке, календаре, способе начисления, базовой ставке и сценарии ее изменения. Затем сравните приближение с прямым пересчетом хотя бы одного сценария. Руководство о процентном риске объясняет направление связи, купон и доходность — различие ставки платежа и требуемой доходности, а оферты — события, которые могут менять сам поток. Даже точный расчет модельной чувствительности не подтверждает ликвидность, платежеспособность должника или пригодность инструмента конкретному человеку.

Контроль модели производной

Вычисленный показатель относится к выбранной функции цены. Если изменить способ начисления или календарь, численное значение тоже может измениться. Поэтому сравнение дюраций из разных источников начинается с методики, а не с вывода, что больший показатель обязательно отражает ошибку. В нашей задаче использованы целые годовые периоды и одна доходность; это делает расчет воспроизводимым, но не универсальным.

Для самопроверки полезно уменьшать размер сценарного сдвига и сравнивать линейное приближение с прямым пересчетом. При соблюдении исходных предпосылок расхождение должно вести себя как ошибка приближения, а не как отдельный источник прибыли. Если поток меняется из-за права стороны, простой пересчет прежних платежей уже не проверяет новый договорный сценарий. Необходимо сначала заново определить деньги и даты. Также нельзя переносить полученную выпуклость на любые облигации с опционностью: условие фиксированного потока было существенным. Таким образом, расчет чувствительности проверяется вместе с границами функции, а не отдельно от текста обязательства.