De la fréquence finie à la limite
Soit P le capital initial, j le taux nominal annuel, m le nombre de capitalisations égales et t le nombre d’années. Sans flux ni frais, le résultat est P×(1+j/m)^(m×t), dont la limite est P×exp(j×t). Il s’agit d’une limite mathématique, pas d’une prime bancaire.
Avec un taux continu δ, F=P×exp(δ×t), P=F×exp(−δ×t). Le taux effectif annuel équivalent est exp(δ)−1 ; inversement δ=ln(1+r), avec 1+r>0. Le même symbole n’assure pas la même définition.
Quatre résultats pour 8 %
Pour 100 000 roubles sur un an : une capitalisation donne 108 000 ; douze donnent environ 108 299,95 ; 365 environ 108 327,76 ; la limite continue environ 108 328,71. Les nombres sont fictifs. Le mot « continu » ne signifie pas croissance illimitée.
Pour obtenir exactement 8 % effectif, le taux continu équivalent est environ 7,6961 %. Huit pour cent continus donnent environ 8,3287 % effectifs. Une forme ne procure pas plus lorsque le coefficient final est identique.
Pourquoi vérifier à l’envers
Reconstituez avec P×(1+r) et comparez à P×exp(δ). Pour plusieurs années, gardez la même unité. À δ=0, le facteur vaut un ; un taux continu négatif réduit le capital mais l’exponentielle reste positive.
Quand la limite ne répond plus
Le modèle ignore week-ends, dates de valeur, solde minimum, arrondis et date des versements. Chaque dépôt reçoit sa propre durée restante. Un δ constant avec un taux variable est un scénario. Pour un contrat réel, lisez la procédure d’accrual.
Erreurs de comparaison
Ne confondez pas intérêts continus et versement quotidien ; ne prenez pas un nominal pour un effectif ; ne promettez pas un avantage si les résultats effectifs sont égaux ; ne transférez pas une limite mathématique à un rendement de marché incertain. Voir [taux effectif](/guides/effective-rate/) et [calendrier de capitalisation](/guides/capitalization-calendar/).